Bertrand定理

本文是笔者的理论力学（鞠国兴）课程论文，谨以此文纪念我的本科物理生涯，蓦然回首，感慨颇多

引言

《朗道力学》在有心力部分指出，只有两种类型的有心力场，其中一切有界运动的轨道是封闭的，这两种场的势能与 或者 成正比。实际上这就是 Bertrand 定理，在 1873 年由法国数学家 Bertrand 证明。本文将给出两种证明方法，并尝试探讨背后更深层次的物理意义。

微扰法证明

有心力场中的拉格朗日量可以写作

可以得到

为了讨论轨道的形状，我们更关心 随 的变化，作变换 ，得到 Binet 公式

圆轨道时 ，，显然有

上式其实等价于

接下来我们讨论，什么形式的力能够给出稳定闭合的轨道。

设偏差量 （ 不是很大），对于 在 附近作 Taylor 展开：

这样轨道方程可以被改写为

记 ，则上式变为

如果只保留到一阶，有：

显然我们需要 才能使轨道稳定，代入 的具体形式

因此，轨道稳定性的条件是

这个结论我们在课内已经得到。

选择合适的初值条件，简谐方程 (3) 的解为

如果要求轨道闭合，则 必须是一个有理数。根据稳定性条件 (4) 可以得到

为了进一步的计算，我们需要考虑更高阶项的贡献。将 (5) 式看作轨道方程的 Fourier 展开，当然其主要贡献来自 项。可以尝试写出

我们可以大胆猜测

所以接下来我们只关注 的相关项。

开始计算：

代回 (2) 式，可以得到

比较对应余弦项的系数，有：

将 (6) 式代入 Binet 公式 (1) 得：

首先我们来处理式 (7a) 和 (7c)：

由式 (7d) 得：

式 (7b) 才是我们的核心内容：

化简可得：

该方程有三个解：。其中 是平凡的，因为它对应着圆轨道，显然是闭合的。另外两种分别对应着：

这正是牛顿的万有引力和胡克定律，这对冤家在这里依然有着奇妙的缘分。

更巧妙的证法

读者可以看出，上面的微扰法证明起来过程非常繁琐，计算非常复杂，下面将给出一种更加巧妙的证明方法。

首先引入有效势能，将其简化为一维运动：

其中 为有效势能， 为有心力场给出的势能，其形状如下图所示。

有效势能

质点运动轨迹的边界由 和 给出（即 时）。此外，当有效势能取极值时，。

两拱点之间转过的角度为

我们把有效势能看作变量，利用反函数 来描述质点的运动。但是需要注意的是 与 并不是一一对应的，因此需要以 为界，引入两个反函数： 和 ，分别对应左右两部分。

现在我们用有效势能来表示角位移：

相加得

这是一个 Abel 积分方程，可以求得

我们希望轨道是闭合的，那么角位移应该与能量无关——否则随着能量的连续变化，轨道会逐渐变得不闭合。所以式 (9) 可变为

在方程 (10) 中 与 并不是完全独立的，可以考虑将 写成与 (10) 类似的形式

但实际上， 与 并不是一对一的映射。更具体地，开根这一操作会让函数的图像产生分支。为了自洽，唯一的办法是根号里面的多项式是一个完全平方式——即根号中含有二次式、一次式和零次式（当然四次、二次和零次，或者类似的都可以）。

满足条件的势能形式只有

与微扰法所得结论相同。这个证明方法免去了微扰法中繁琐的级数展开和系数比较，通过 Abel 积分方程的封闭解条件，几乎是一步到位地得到了结果，可谓是简洁而优美。

总结：两种力之间的对偶性

万有引力和线性回复力都会给出稳定闭合的轨道，这绝不仅仅是巧合，它反映了力学系统的对偶性。

如果用复平面上的点来表示运动情况，简谐振动可以用下面的方程进行描述：

只要通过变换 就可以将其转换为二体运动的方程：

这被称为波林定理。证明如下：

实际上，我们有更一般性的结论：复平面上的点 在一有心力场中运动，力与中心距离的 次幂成正比。在变换 下， 的轨道将变成与到中心距离的 次幂成正比的中心力场中的运动的轨迹，这里 由下式确定：

因此，每一种幂次的有心力场都有另外一种有心力场跟它对偶。Bertrand 定理的两种允许形式——平方反比律（）和胡克定律（）——在 的意义下恰好彼此对偶（），这并非偶然，而是隐藏在其背后的深层数学结构使然。

参考文献

1. Л·д·朗道, E.M.栗弗席兹. 力学（第五版）[M]. 2007.
2. F. C. Santos, V. Soares, A. C. Tort. An English translation of Bertrand's theorem[J]. Latin American Journal of Physics Education, 2011, 5(4): 694-696. arXiv: 0704.2396.
3. F. C. Santos, V. Soares, A. C. Tort. A non-perturbative proof of Bertrand's theorem. arXiv: 0704.0575.
4. Yoel Tikochinsky. A simplified proof of Bertrand's theorem[J]. American Journal of Physics, 1988, 56: 1073-1075.
5. 阿诺尔德. 惠更斯与巴罗, 牛顿与胡克[M]. 2013.